مجموعههای فازی محدب: یک مجموعهی فازی را محدب مینامیم اگر و فقط اگر؛

به قسمی که است. به عبارت دیگر، اگر مجموعه سطح یک مجموعه فازی در هر سطح محدب باشد، آنگاه آن مجموعه فازی محدب نامیده میشود.

2. مجموعههای فازی نرمال: مجموعه فازی را نرمال مینامیم هرگاه داشته باشیم:

حال یک مجموعه فازی محدب نرمال را به شرط آنکه فقط و فقط به ازای یک عضو از مجموعه مرجع میزان تابع عضویتش برابر با ۱ باشد را یک عدد فازی مینامیم. انواع مختلفی از اعداد فازی تعریف شدهاند که اعداد فازی مثلثی از مهمترین و پرکاربردترین آنها است. یک عدد فازی مثلثی در حالت کلی مطابق رابطه (۳-۲۶) تعریف میگردد.
به قسمی که ، و به ترتیب مرکز، گسترش به راست و گسترش به چپ عدد فازی هستند. اعداد فازی مثلثی که با یک سهتایی مرتب نمایش داده میشوند، در حالت کلی به دو دستهی متقارن و نامتقارن تقسیم میگردند. هرگاه گسترشهای راست و چپ عدد فازی مثلثی با یکدیگر برابر باشد آنگاه عدد فازی مثلثی را متقارن و در غیر این صورت آن را نامتقارن مینامیم (خاشعی، ۱۳۹۲).
۳-۴-۳-۶٫ مبانی رگرسیون فازی
رگرسیون فازی تعمیمی از رگرسیون کلاسیک است که برای محاسبهی رابطهی بین متغیرهای مستقل و متغیر وابسته در یک محیط فازی استفاده میشود. الگوهای کلاسیک از مفهوم عبارت خطا استفاده میکنند؛ به عبارت دیگر برآوردهای اینگونه از الگوها مقادیر حقیقی است و شامل جملهی خطا نمیشود و این همان مفهوم پایهای رگرسیون فازی است. مفهوم اساسی نظریهی فازی و رگرسیون فازی این است که جملهی خطا از باقیماندههای بین مقادیر برآورد شده و مقادیر اصلی یا مشاهدات تولید نمیشود، بلکه در عدم قطعیت ضرایب الگو و امکان توزیع در ارتباط با مشاهدات حقیقی بهکار گرفته میشوند. یک الگوی رگرسیون خطی فازی در حالت کلی عبارت است از:
بهطوریکه بردار متغیرهای مستقل، علامت پریم () عملگر ترانهاده، تعداد متغیرها و مجموعههای فازی بیانگر امین ضریب الگو هستند. این اعداد فازی (ضرایب ) به شکل اعداد فازی نوع ال «دابیوس و پریس» با توزیع احتمال زیر هستند:
که در آن یک تابع است. ضرایب فازی نیز به شکل اعداد فازی مثلثی متقارن بهکار گرفته شدهاند:
بهطوریکه تابع عضویت مجموعهی فازی بیانگر ضرایب است. نیز مرکز عدد فازی و گسترش حول مرکز است. حال با توجه به اصل گسترش تابع عضویت عدد فازی را میتوان بهصورت رابطه (۳-۳۰) تعریف کرد.
بهطوریکه و به ترتیب بردار مقادیر مربوط به ضرایب و گسترشهای آنها حول مرکز هستند. بهطور کلی الگو از کمینهسازی کل ابهامات (برابر با مجموع گسترشهای تکی و مربوط به هر یک از ضرایب فازی الگو) استفاده میکند.
این روش بهطور همزمان شرایطی را در نظر میگیرد که مقدار عضویت به ازای هر مشاهدهی بزرگتر از حد آستانهی تعییین شده در سطح است (). این معیار بیانگر این حقیقت است که خروجی فازی الگو باید برای تمامی نقاط دادهای () بیشتر از مقدار انتخابی سطح باشد. انتخاب مقدار سطح بر گسترشهای ضرایب فازی الگو مؤثر است.
شاخص به تعداد دادههای غیرفازی بهکار گرفته شده در ساخت الگو برمیگردد. مسألهی یافتن ضرایب رگرسیون فازی توسط تاناکا به صورت یک برنامهریزی خطی فرمولبندی شده است.
بهطوریکه و بردار متغیرهای مجهول و کل ابهامی است که قبلا تعریف شده است (خاشعی، ۱۳۹۲).
۳-۵٫ الگوی هوش محاسباتی ترکیبی
امروزه با وجود روشهای کمی متعدد جهت پیش‌بینی‌های مالی، هنوز پیش‌بینیهای دقیق در محیط‌های مالی کار چندان ساده‌ای نیست و اکثر محققان درصدد بهکارگیری و ترکیب روشهای متفاوت به منظور دستیابی به نتایج دقیق‌تر هستند. الگوهای خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته یکی از مهمترین و پرکاربردترین الگوهای سری‌های زمانی هستند. این‌گونه الگوها برای پیش‌بینی‌های کوتاه‌مدت بسیار مفید هستند و پیش‌بینی‌های صحیحی نیز در صورت فراهم بودن شرایط مطلوب ایجاد خواهند کرد. مهمترین محدودیت این‌گونه الگوها پیش‌فرض خطی‌بودن الگو است. از دیگر محدودیت‌های الگوهای خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته نیز می‌توان احتیاج به حداقل پنجاه و ‌ترجیحاً یکصد مشاهده یا بیشتر اشاره کرد.
در این‌گونه از الگوها فرض می‌شود بین مقادیر سری زمانی یک ساختار همبسته خطی وجود داشته باشد. بنابراین الگوهای غیرخطی نمی‌توانند توسط الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته محاسبه گردند و به همین دلیل است که تخمین الگوهای خطی، برای مسایل پیچیده دنیای واقعی که اغلب الگوهای غیرخطی هستند، همیشه رضایت‌بخش نخواهد بود. از سوی دیگر امروزه به علت عدم قطعیت محیط و توسعهی سریع فنآوری جدید معمولاً باید موقعیت‌های آینده را با استفاده از داده‌های کم و در بازهی زمانی کوتاه‌مدت پیش‌بینی کرد. بنابراین به روشهای پیش‌بینی نیاز است که به داده‌های کمتری احتیاج داشته باشند.
شبکه‌های عصبی مصنوعی از جمله مهمترین و دقیق‌ترین روشهای حال حاضر جهت الگو‌سازی غیرخطی داده‌ها هستند. اما با وجود تمامی مزیت‌های شبکه‌های عصبی، این‌گونه از شبکه‌ها را نمی‌توان در تمامی موارد و به عنوان یک الگوی کلی که برای همه موارد مناسب باشند، درنظرگرفت. همانگونه که برآورد الگوهای خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته برای مسایل غیرخطی پیچیده ممکن است مناسب نباشد، بهکارگیری شبکه‌های عصبی مصنوعی نیز برای الگوسازی مسایل خطی نتایج متفاوتی داشته است.
الگوی رگرسیون فازی یک الگوی پیش‌بینی بازه‌ای مناسب در شرایط داده‌های قابل حصول کم است. این‌گونه از الگو‌ها با استفاده از اعداد فازی بهجای اعداد قطعی نیاز به داده‌های گذشته را کاهش می‌دهند. امّا عملکرد این‌گونه از روشها در حالت کلی چندان رضایت‌بخش نیست (خاشعی و بیجاری، ۲۰۰۹). حال براساس مطالب بیان شده، در پژوهش حاضر از شبکه‌های عصبی مصنوعی و رگرسیون فازی به ترتیب به منظور حذف محدودیت‌های خطی و تعداد داده‌های مورد نیاز در روش خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته و بهبود نتایج حاصل، استفاده ‌شده است.
در روش پیشنهادی ابتدا یک الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته به منظور الگوسازی جز خطی الگو ، بر روی داده‌های سری زمانی مورد مطالعه برازش می‌گردد. نتیجه این مرحله رابطه‌ای مطابق زیر و برآوردی از مقادیر واقعی سری زمانی مورد مطالعه و ضرایب الگو خواهد بود.
به قسمی که و ضرایب الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته و هستند. حال اگر یک سری زمانی را بهصورت ترکیب یک ساختار خودهمبسته خطی و یک جز غیرخطی در نظرگرفته شود ، از آنجایی که الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته نمی‌تواند ساختارهای غیرخطی داده‌ها را الگوسازی نماید، باقیمانده‌های الگوی خطی تنها شامل اطلاعاتی غیرخطی خواهند بود . بنابراین در گام دوم یک الگوی شبکه عصبی برای الگو‌کردن باقیمانده‌های حاصل از الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته بهکارگرفته می‌شود. با الگوسازی باقیمانده‌ها توسط شبکه‌های عصبی مصنوعی می‌توان روابط غیرخطی موجود در باقیمانده‌ها را کشف کرد. با فرض گره ورودی و یک گره خروجی، الگوی شبکه‌های عصبی مصنوعی با یک لایه مخفی برای باقیمانده‌ها بهصورت زیر خواهد بود:
بهطوریکه یک تابع غیرخطی مشخص شده توسط شبکه عصبی است و خطای تصادفی است. با برآورد از معادله شماره (۳-۳۵)، پیش‌بینی ترکیبی بهصورت رابطهی (۳-۳۶) خواهد بود.
در مرحله بعدی با فازی درنظرگرفتن ضرایب بهدست آمده از مرحله قبلی بهصورت اعداد فازی مثلثی و استفاده از رگرسیون فازی حدود بالا و پایین مقادیر محاسبه می‌گردند. یک الگوی ترکیبی با ضرایب فازی در حالت کلی به صورت زیر است.
حال معادله (۳-۳۷) بهصورت زیر تبدیل می‌گردد.
ضرایب فازی در این معادله بهصورت اعداد فازی مثلثی مطابق زیر در نظرگرفته ‌شده‌اند.
بهطوریکه تابع عضویت مجموعه فازی است که با ضرایب مشخص می‌گردند. حال با استفاده از ضرایب فازی به صورت اعداد فازی مثلثی و همچنین اصل گسترش ، تابع عضویت مطابق رابطه (۳-۴۱) خواهد بود.
به قسمی‌که سطح آستانه‌ای برای میزان توابع عضویت تمامی مشاهدات است.
به عبارت دیگر مطابق زیر تعریف می‌گردد:
به قسمی که ضریب خودهمبستگی در وقفه زمانی ، ضریب خودهمبستگی جزیی در وقفه زمانی ام و وزن اتصالی بین نرون ام میانی و نرون خروجی است.
روش پیشنهادی را در حالت کلی می‌توان در سه مرحله زیر خلاصه نمود.
مرحله اول (گام یک)– الگوسازی خطی: برازش یک الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته با استفاده از اطلاعات موجود در داده‌های سری زمانی مورد مطالعه است. نتیجه این مرحله، جواب بهینه ضرایب و خطای خالص هستند که بهعنوان یکی از مجموعه داده‌های ورودی در مراحل بعدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مرحله اول (گام دو)– الگوسازی غیرخطی: آموزش یک شبکه عصبی با استفاده از اطلاعات موجود در باقیمانده‌های الگوی خودرگرسیون میانگین متحرک انباشته است. نتیجه این مرحله، جواب بهینه ضرایب است که به عنوان یکی از مجموعه داده‌های ورودی در مراحل بعدی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مرحله اول (گام سه)– ترکیب: ترکیب نتایج بهدست‌آمده از مرحله یک و دو به منظور الگوسازی تمامی روابط موجود در داده‌های سری زمانی مورد مطالعه است. نتیجه این مرحله، برآوردی از مقادیر واقعی مشاهدات است.
مرحله دوم- تعیین حداقل ابهام: تعیین حداقل ابهام با استفاده از معیارهایی همانند معادله (۳-۴۳)، و . تعداد محدودیت‌ها برابر با تعداد مشاهدات است و الگوی حاصل مطابق رابطه (۳-۴۴) خواهد بود که بوده و و به‌ترتیب مراکز و اعداد فازی هستند.
مرحله سوم- حذف داده‌های پرت: در این مرحله داده‌های حد بالا و پایین الگو وقتی که دامنه الگو وسیع گردد، حذف خواهند شد. به منظور ساختن الگویی شامل همه شرایط ممکن، اگر مجموعه داده‌ها شامل تفاوتهای مشخص یا موارد خارج از محدوده باشند، ها بسیار گسترده خواهند شد. بنابراین داده‌های اطراف مرزهای بالا و پایین الگو حذف می‌گردد، سپس الگو بهطور مجدد فرمول‌بندی می‌گردد.
فصل چهارم:
یافتههای پژوهش