۲-۳-۱۱- مدل جمعی

مفاهیم مدل جمعی ابتدا به وسیله چارنز و همکاران ( ۱۹۸۵) معرفی شد و بوسیله بنکر و همکاران در ۱۹۸۹ توسعه یافت. این مدل بطور همزمان کاهش ورودی‌ها و افزایش خروجی ها را مورد توجه قرار می‌دهد. مدل جمعی به شکل مدل (۲-۶) فرموله می شود:
 
مدل(۲-۶): مدل جمعی
مدل فوق همان مدل پوششی BCC می باشد. تفاوت بین مدل جمعی و مدل پوششی BCC در این است که مقدار  از مدل حذف شده است و تمام ناکارایی‌ها، خود را در مقدار متغیرهای کمکی  نشان می‌دهند. بنابراین شرط کارا بودن یک واحد تصمیم‌گیری این است که مقدار متغیرهای کمکی آن صفر باشد. متغیرهای کمکی بیانگر منابع یا میزان عدم کارایی در ورودی‌ها و خروجی‌های متناظر با محدودیت‌های آنها می‌باشند (رحیمی سوره، ۱۳۸۳).

۲-۳-۱۲-مدل تراکم۱[۲۲]

تراکم در نهاده ها در واقع آن میزان از نهاده را در بر می‌گیرد که مصرف آن‌ها نه تنها سبب افزایش در ستاده‌ها نمی‌گردد، بلکه موجبات کاهش در تولید و ستاده ها را نیز به همراه دارد. ازدحام نهاده ها در حد جلوگیری از مصرف آن در جهت افزایش ستاده ها موضوع بسیار با اهمیتی است که برای نخستین بار توسط «براکت»۲[۲۳]مورد توجه قرار گرفت. در بسیاری از موارد منشأ کاهش یا افت تولید ستاده ها را نباید در عدم توانایی واحد تصمیم‌ گیرنده دانست، بلکه بایستی آنرا در وجود تراکم در یک یا چند نهاده جستجو نمود(Cooper, 2001). [۲۶]
وجود تراکم در نهاده نیروی انسانی در بسیاری از واحدهای تصمیم گیرنده از شایع‌ترین نوع ازدحام به شمار می‌آید. مطالعه تحقیقی «براکت» و همکاران وی در سال ۱۹۹۷ در بررسی تراکم نیروی انسانی در سه صنعت بزرگ چین قبل و بعد از اصلاحات اقتصادی سال ۱۹۸۷ بوسیله مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها، روش نوین برای این موضوع به شمار می‌رود. آنها به وسیله مدل‌های تحلیل پوششی داده‌ها نشان دادند که کاهش نیروی انسانی در منابع مبتلا به تراکم نیروی انسانی سبب افزایش ستاده و افزایش آن موجب کاهش ستاده‌ها خواهد شد. از اینرو آنان منبعی را که می‌تواند سبب کاهش ستاده گردد، شناسایی نمودند. این کاهش ستاده منجر به افزایش در نهاده‌ها می‌شود. تراکم براساس تعریف براکت و همکاران وی به شرح زیر می باشد (Brokett, 1998) [۲۴]
« در یک واحد تصمیم گیرنده، هرگاه افزایش یا افزایش‌هایی حداقل در یکی از نهاده‌ها متناظر با کاهش یا کاهش‌هایی حداقل در یکی از ستاده‌‌ها باشد. و یا بالعکس کاهش یا کاهش‌هایی حداقل در یکی از نهاده‌ها، متناظر با افزایش یا افزایش‌هایی حداقل در یکی از ستاده‌ها باشد، گوییم تراکم وجود دارد.»
برای سنجش میزان تراکم DMUp ابتدا مدل BCC ستاده‌گرا را برای آن اجرا می‌کنیم.
 
مدل(۲-۷): مدل BCC ستاده گرا
با حل مدل فوق جواب بهینه  بدست می‌آید، با استفاده از روابط زیر مقادیر  را محاسبه می‌کنیم. این روابط را اپراتورهای تصویری مدل CCR می‌نامند، در واقع  متناظر با ستاده‌ها و نهاده های تصویر شده واحد تحت بررسی Pام بر روی مرز کارایی است.
 
اکنون با استفاده از مقادیر  به عنوان مختصات جدیدDMUp مدل زیر ساخته می‌شود.
 
مدل(۲-۸): مدل تراکم
در این مدل برای یافتن میزان تراکم در نهاده‌های واحد تحت بررسی، پس از یافتن تصویر واحد بر روی مرز کارایی به دنبال آن هستیم که ترکیبی از واحدهای تصمیم‌گیری را بیابیم که این ترکیب با مصرف نهاده‌های کمتر از واحد تحت بررسی همان ستاده واحد تصویر شده روی مرز کارایی را تولید کند، از حل مدل فوق جواب بهینه بصورت  حاصل می‌شود. بدین ترتیب مقدار تراکم در iامین نهاده به صورت زیر محاسبه میشود:
 
و واحد تحت بررسی کارا خواهد بود اگر و تنها اگر  باشد.
مدل تراکم با مبنای مدل BCC قابل تعمیم به مبنای CCR نیز می‌باشد.

۲-۳-۱۳- رتبه‌بندی عملکرد در DEA با کارایی متقاطع۱[۲۴]

مدلهای سنتی DEA نمی‌توانند واحدهای تصمیم‌گیری (بویژه واحدهای کارا) را رتبه‌بندی کنند. همچنین ممکن است در DEA گروههایی که ناکارا هستند در عمل از سطح عملکرد مطلوبی نسبت به واحدهای کارا برخوردار باشند. این به دلیل محدود نبودن وزنها در مدل DEA است. در مدل DEA برای ارزیابی کارایی نسبی یک DMU وزنهای اختصاصی به نهاده‌ها و ستاده‌ها (Ur,Vi) طوری انتخاب می‌شوند که کارایی واحد تحت بررسی حداکثر شود. لذا یک DMU می‌تواند از طریق اختصاص وزنهای نامعقول به هر یک از نهاده‌ها و ستاده‌هایش کارا ارزیابی شود. زیرا مدل به بعضی از نهاده ‌ها و ستاده‌ها وزن بالایی را اختصاص می‌دهد و از برخی نهاده ها و ستاده‌ها چشم پوشی می‌کند. این موضوع باعث می‌شود واحد تصمیم‌گیری که کارا ارزیابی شده است در عمل از سطح عملکرد مطلوبی برخوردار نباشد.
روش کارایی متقاطع یکی از راههایی است که می‌تواند برای شناسایی عملکردهای خوب و رتبه‌بندی مؤثر DMUها از آن استفاده کرد.
روش کارایی متقاطع، عملکرد یک DMU را با توجه به وزنه

ای بهینه سایر DMUها مقایسه می‌کند که نتیجه این ارزیابی‌ها در ماتریس کارایی متقاطع نشان داده می‌شود. در این ماتریس عناصری که در سطرiام و ستون jام قرار دارند، کارایی واحد jام هنگامی که با وزنهای بهینه DMU iام ارزیابی شده است را نشان می‌دهد. لذا یک DMU از لحاظ عملکرد در سطح بالایی قرار دارد اگر در ستون مربوط به خود دارای نمرات کارایی بالایی باشد. همچنین یک واحد با عملکرد پایین، در ستون مربوط به خود دارای نمرات کارایی پایین متعددی خواهد بود(Doyle, 1994)[31] .
جدول (۲-۱): ماتریس کارایی متقاطع