برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت zusa.ir مراجعه نمایید.

 

 

1. ® متناهی است.

 

 

1. R clique متناهی است.

 

 

1. ایده آل صفر در R اشتراک متناهی از ایده آلهای اول است.

 

 

1. R شامل یک خوشه نامتناهی نمی باشد.

 

 

اثبات.
دلالتها و التزامهای(۱) (۲) ، (۱) (۴) ، و (۴) (۲) بدیهی هستند.
(۱) (۳) . فرض کنید = p1 … pk () که p1 ,…, pk ایده آلهای اول هستند.
رنگ آمیزی f بر روی R را بوسیله قرار دادن f() = و f(x) = min{i x p i } برای x ≠ تعریف می کنیم. توجه داریم که ® ≤ k + 1 می باشد.
اکنون کافیست نشان دهیم (۳) (۴).فرض کنید کهR کاهشی است وشامل خوشه نامتناهی نمی باشد. در این صورت R درشرط زنجیر صعودی برایده آلهایی بصورت Ann a ( لم ۲-۲-۸ ) صدق می کند.فرض کنید Ann xi , i I اعضای ماکسیمال متفاوت از خانواده {Ann a a ≠ } باشد; ادعا می کنیم که هر Ann xi ایده آل اول است. با توجه به اینکه xi ≠ ، پس داریم ۱ Ann xi، در نتیجهAnnxi ≠ R .حال فرض کنیم a,b R چنان باشد کهab Ann xi . از اینرو = abxi که ایجاب می کند a Ann bxi. از طرفی ماکسیمال بودن Ann xi و اینکه Ann bxi R Ann xi ، نتیجه می دهد که یا Ann xi = Ann bxi یا Ann bxi = R . بنابراین یا a Ann xi یا ۱ An bxi (که همان b Ann xi است) را خواهیم داشت. با توجه به لم ۲-۲-۹ مجموعه اندیس I متناهی است.
x R که x ≠ را در نظر می گیریم دراینصورت به ازای i I ، در این صورتAnn x Ann xi . اگرxxi = دراین صورت xi Ann x Ann xi واستنباط می گردد که xi2 = ،ومستلزم آنست که xi = . لذا نتیجه می گیریم که xxi ≠ وبدینگونه x Ann xi .از اینرو ∩I Ann xi = () و بدینسان اثبات قضیه ۲-۲-۱۰ کامل می گردد. ■
اکنون قادر خواهیم بود حدس ۲-۱-۸ را در حالت حلقه های کاهشی اثبات نماییم.
۲-۲-۱۱ قضیه.
فرض کنید R یک حلقه کاهشی (( ) ≠ )باشد.اگر ® < باشد، آن گاه R فقط تعداد متناهی ایده الهای اول مینیمال دارد. اگر n این عدد باشد دراین صورت χ®=clique R = n+1 .
اثبات.
فرض کنید که χ® < است. در این صورت قضیه ۲-۲-۱۰ نتیجه می دهد که () اشتراک متناهی از ایده آلهای اول است و از اینرو R فقط تعداد متناهی P1 , …, Pn از ایده آلهای اول مینیمال دارد. علاوه بر آن، () = P1 … P n و همانطوریکه در اثبات قضیه ۲-۲-۱۰ نشان داده شد χ® ≤ n +۱. xi را چنان انتخاب می کنیم که xi pj برای j ≠ i و xi pi . در این صورت , x1 , …, xn یک خوشه است. از اینرو clique R ≥ n + 1 . حال از χ® ≥ clique R تعدادی حاصل می شود. ■
اکنون به اثبات مهمترین قضیه این بخش می پردازیم.
۲-۲-۱۲ قضیه.
شرایط ذیل برای حلقه R معادل هستند :

 

 

 

1. ®χ متناهی است.

 

 

1. R clique متناهی است.

 

 

1. پوچ رادیکال در R متناهی و مساوی با اشتراک متناهی ایده آلهای اول است.

 

 

1. R شامل یک خوشه نامتناهی نیست.

 

 

اثبات.
دلالتها و التزامات (۱) (۲) ، (۱) (۴) و (۲) (۴) بدیهی هستند.
(۳) (۱) . فرض کنید J = P1 … P k که p1 , …, p k ایده آلهای اول هستند. اگر x J فرض کنید f( x) = min{i x pi} . این رنگ آمیزی عضوهایی خارج از J می باشند. از آنجائیکه J متناهی است برای رنگ آمیزی تمامی R صرفاً تعداد متناهی از رنگهای اضافی نیاز است.
برای اثبات (۴) (۳) فرض می کنیم که R خوشه نامتناهی ندارد. این موضوع با توجه به لم های ۲-۲-۳ و ۲-۲-۷ بر این دلالت دارد که J متناهی است و R/J یک خوشه نامتناهی ندارد. حل از قضیه ۲-۲-۱۰ نتیجه می شودکه J اشتراک متناهی از ایده آلهای اول است. ■
این بخش را با کاربردهای خاص قضیه ۲-۲-۱۲ به پایان می رسانیم.
۲-۲-۱۳ قضیه.
فرض کنید R حلقه ای است که شامل یک ایده آل متناهی بصورت اشتراک تعدادی متناهی
ایده آل اول باشد. در این صورت رادیکال هر ایده آل متناهی، متناهی و مساوی با اشتراک متناهی از ایده آلهای اول است. بعلاوه، این حلقه فقط تعداد متناهی ایده آل متناهی دارد.
اثبات.
اگر R شامل یک ایده آل متناهی که اشتراک متناهی ایده آلهای اول است باشد آن گاه با توجه به استدلالهای استفاده شده در اثبات (۳) (۱) از قضیه ۲-۲-۱۲، χ® < می باشد.
فرض کنید K ایده آلی متناهی در R باشد. آن گاه R/K یک خوشه نامتناهی ندارد (لم ۲-۲-۳)، از اینرو χ(R/K) < ( قضیه۲-۲-۱۲). همچنین از قضیه۲-۲-۱۲ نتیجه می شود که K/K rad متناهی است و K rad اشتراک متناهی ایده آلهای اول است. از آنجائیکه K/K rad متناهی و K نیز متناهی است نتیجه می گیریم که K rad متناهی است.
فرض کنید } متناهی است A = { x x . از آنجائیکه R < clique است ، از لم ۲-۲-۲، نتیجه می شود که A یک ایده آل متناهی است. با توجه به اینکه A شامل هر ایده آل متناهی است، پس تعداد چنین ایده آلهایی متناهی است. ■