14

12

6

گام اول : لیست اولیه کارها را بر اساس مجموع زمان پردازش مرتب می‌کنیم : 6-2-5-3-4-1
گام دوم : کار 1 و 4 را در نظر می‌گیریم و برای توالی‌های ممکن یعنی 1-4 و 4-1 مقدار تابع هدف را محاسبه می‌کنیم که داریم : 210 و 236. در نتیجه توالی 1-4 را انتخاب می‌کنیم.
گام سوم : کار بعدی یعنی کار 3 را در نظر می‌گیریم و برای توالی‌های ممکن 3-1-4 ، 1-3-4 و 1-4-3 مقدار تابع هدف را محاسبه می‌کنیم که بعد از محاسبه، توالی 1-3-4 با مقدار 231 را انتخاب می‌کنیم. و با ادامه این روند، توالی بهینه یعنی توالی 4-3-1-5-2-6 با مقدار تابع 322 بدست می‌آید.
جمع‌بندی
در این فصل ابتدا با مسئله جریان‌کارگاهی و سپس با اهمیت آن در علم توالی عملیات و زمان‌بندی آشنا شدیم. در ادامه مروری بر ادبیات این مسئله انجام شد و سپس به مرور روش‌های ابتکاری حل مسئله جریان‌کارگاهی پرداختیم . در این فصل همچنین نشان دادیم که ایده اکثر الگوریتم‌های ابتکاری مسئله جریان‌کارگاهی بر پایه سه الگوریتم جانسون، پالمر و می‌باشد. و در انتها سه الگوریتم ابتکاری مهم مسئله جریان‌کارگاهی را با مثال تشریح کردیم.

جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف
در این فصل، ابتدا تعریفی جامع بر مسئله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف خواهیم داشت. و خواهیم دید که این محدودیت در دنیای واقعی چه اثرگذاری دارد. در ادامه مروری بر پژوهش‌های انجام شده در حوزه مسئلهی مورد بررسی ، الگوریتم‌های ابتکاری و الگوریتم‌های فراابتکاری خواهیم داشت. در گام بعد، به بررسی مدل ریاضی مسئله و اثبات آن می‌پردازیم.
جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف
مسأله مورد بررسی در این رساله، تعیین توالی و زمان‌بندی در یک محیط جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف[33] است که به اختصار خوانده می‌شود. منظور از عدم‌توقف این است که هر کار پس از شروع پردازش بر روی اولین ماشین، به صورت پیوسته بر روی دیگر ماشین‌ها تا آخرین ماشین پردازش می‌شود و هیچ توقفی بین پایان عملیات بر روی یک ماشین و شروع عملیات بر روی ماشین بعدی وجود نداشته باشد. به بیان دیگر، زمان تکمیل پردازش یک کار بر روی یک ماشین دقیقا برابر با زمان شروع پردازش آن کار بر روی ماشین بعدی است. از این‌رو زمان شروع یک کار بر روی ماشین اول بایستی به نوعی زمان‌بندی شود تا این محدودیت رعایت گردد.
شکل ‏3‑1: شمایی از مسئله جریان کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف
دلایل عمده به وجود آمدن محدودیت عدم‌توقف را به می‌توان به شرح زیر مطرح کرد [7]:
فناوری تولید:
در برخی از فرایند‌ها، برخی از مشخصه‌های مواد از نظیر دما یا چسبناکی این محدودیت را ایجاب می‌کند که عملیات متوالی بر روی ماشین‌ها بدون وقفه انجام شود. به عنوان نمونه این شرایط در فرایند تولید فولاد هنگامی که فولاد ذوب شده و مسیرهایی را به منظور قالب‌گیری، گرم‌کردن مجدد، خیساندن، نورد اولیه و… طی می‌کند، اتفاق می‌افتد. همچنین در صنایع پلاستیک و دارو‌سازی، تعدادی از فرایندها باید بدون وقفه و به صورت متوالی انجام شوند. در صنایع غذایی، فرایند قوطی‌ریزی مواد غذایی، باید دقیقا پس از آماده شدن مواد غذایی انجام شود تا مواد غذایی سالم بمانند. در صنایع تولیدی مدرن از جمله تولید ‌به ‌هنگام و سیستم‌های تولیدی انعطاف‌پذیر نیز محدودیت عدم‌توقف دیده می‌شود.
کمبود و یا عدم وجود انبارهای میانی بین ماشین‌های متوالی:
دلیل دوم برای به‌وجود آمدن محدودیت عدم‌توقف، کمبود انبارهای میانی بین ماشین‌ها و یا ایستگاه‌ها میباشد.
در این مسأله فرض می‌شود که کار در یک محیط جریان‌کارگاهی با ماشین، پردازش می‌شوند. با توجه به ویژگی‌ مسئله، ترتیب پردازش کارها بر روی ماشین‌ها یکسان می‌باشد. هدف از بررسی و حل این مسأله یافتن بهترین توالی پردازش کارها بر روی ماشین‌ها به گونه‌ای است که زمان اتمام پردازش آخرین کار () کمینه شود.
نماد مسأله مورد بررسی با استفاده از نمادهای مسائل [2] به صورت Fm/nwt/Cmax می‌باشد. در این نماد، قسمت اول که با Fm نشان داده شده است، نشان‌دهنده محیط جریان‌کارگاهی با ماشین است. نماد در بخش دوم محدودیت عدم‌توقف را نشان می‌دهد و بخش سوم نیز بیان‌کننده تابع هدف مورد بررسی که طولانی‌ترین زمان تکمیل است می‌باشد.
فرضیه‌های در نظر گرفته شده در این مسأله به شرح زیر است:
n کار برای پردازش بر روی ماشین در دست است؛
پردازش هر کار بر روی هر ماشین تا اتمام آن بدون وقفه صورت می‌پذیرد؛
زمان شروع یک کار برروی یک ماشین برابر با زمان اتمام آن بر روی ماشین قبلی است؛
زمان پردازش کارها بر روی ماشین‌ها قطعی و از قبل مشخص است؛
کلیه کارها در زمان صفر در دسترس است.
هال و سریکاندراجا [7] خلاصه‌ای از پژوهش‌های انجام شده تا سال 1996 در حوزه مسائل زمان‌بندی با محدودیت عدم‌توقف در محیط‌های جریان‌کارگاهی، کارکارگاهی و کارگاه باز را ارائه داده‌اند. آنها علاوه بر معرفی چندین روش ابتکاری برای حل مسأله، به بررسی پیچیدگی حالت‌های خاصی از این گروه مسائل پرداخته‌اند.
مرور ادبیات جریان‌کارگاهی با محدودیت ‌عدم‌توقف
سهنی و چو [24] مسأله زمانبندی با محدودیت عدم‌توقف را در محیطهای جریان‌کارگاهی، کار کارگاهی و کارگاه باز با تابع هدف کمینه کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و نشان میدهند که این گروه مسائل از نوع هستند. همچنین در این تحقیقات نشان داده می‌شود که مسائل کارکارگاهی و کارگاه باز در حالت دو ماشینه حتی هنگامی که هیچ کاری با زمان پردازش صفر بر روی یکی از ماشین ها وجود نداشته باشد هستند.
پانوالکر و وولام [25] حالت خاصی از مسأله را با تابع هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و قضیه‌هایی را در مورد مقدار بهینه تابع هدف مسأله مورد بحث مطرح کرده و اثبات میکنند.
مون و همکارای [26] مسأله زمان‌بندی جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف را با هدف کمینه کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و مدل ریاضی خطی– عدد صحیح را برای حل آن ارائه میدهند. در مسأله مورد نظر، زمانهای حمل و نقل و زمانهای آمادهسازی وابسته به توالی ماشینها در نظر گرفته میشود. همچنین به منظور بررسی عملکرد مدل ریاضی این مسئله ، نمونههایی از مسأله مورد بررسی حل شده و نتایج آن با مدلهای پیشین مقایسه میشود.
آیدوسان [27] مسأله را در حالت دو ماشینه و با فرض زمانهای آمادهسازی ماشینها با هدف کمینه کردن مجموع زمان تکمیل پردازش کارها مطرح کرده و الگوریتم ابتکاری برای حل آن را ارائه می‌دهد. در این روش حد پایینی برای مسأله مورد بحث توسعه داده شده و از آن در روش شاخه و کران که به منظور ارزیابی الگوریتم ابتکاری ارائه شده، استفاده میشود.

در این روش از پارامتری به نام استفاده می‌شود که بیانگر فاصله زمانی شروع کار ام بعد از اتمام کار ام روی ماشین اول می‌باشد که از رابطه‌ی 3-1 بدست می‌آید:
در این رابطه زمان پردازش کار jام روی ماشین iام است. این رابطه فاصله زمانی بین اتمام کار ام روی ماشین اول و شروع کار ام را بهگونه‌ای مشخص می‌کند که هیچ توفقی برای کار ام ایجاد نشود.
با توجه به رابطه 3-1 تابع هدف طولانی‌ترین زمان تکمیل به صورت رابطه 3-2 محاسبه می‌شود:

ون‌دروین و همکاران [39] مسأله را با هدف کمینه کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار و با در نظر گرفتن ساختار خاصی برای پردازش کارها روی ماشینها مورد بررسی قرار داده و یک روش ابتکاری برای حل آن با استفاده از روش حل مسأله فروشنده دوره گرد ارائه میدهند.
در سال 1993 راجندران [40] الگوریتم ابتکاری با الهام از الگوریتم برای مسأله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف با تابع هدف کمینهکردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار ارائه میدهد. تفاوت الگوریتم ارائه شده با الگوریتم ، در گام اولیه آن یعنی تولید توالی ابتدایی می باشد. در این الگوریتم برای تولید توالی اولیه از رابطه 3-3 استفاده شده است.

بعد از تولید توالی اولیه از رابطه 3-3، دیگر مراحل همانند الگوریتم می‌باشد. بدین ترتیب که کارها بر اساس قرارگیری در توالی اولیه انتخاب شده به طوری که تمامی حالتها آن بررسی و بهترین حالت حفظ می‌شود تا توالی بهینه بدست آید.
این الگوریتم، با توجه به رابطه 3-3، تاکید بر این موضوع دارد که کارهایی که زمان پردازش آنها بر ماشینهای اولیه کمتر است، بر سایر کارها اولویت دارند، زیرا اولویت کارهایی که زمان پردازش آنها بر روی ماشینهای ابتدایی بیشتر است، باعث انسداد بیشتری برای شروع کار بعدی می‌شود که این مطلب از تعریف مسئله جریان‌کارگاهی با عدم‌توقف نیز قابل برداشت است.
برتولیسی [41] مسأله را با هدف کمینه کردن مجموع زمان تکمیل پردازش کارها در نظر گرفته و یک روش ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند. گلاس و همکاران [42] مسأله در حالت دو ماشینه را با هدف کمینه کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و فرض می‌کنند زمان پردازش تعدادی از کارها برروی ماشین دوم صفر است. آنها یک روش ابتکاری برای حل مسأله مورد بحث ارائه می‌دهند.
سیدنی و همکاران [43] مسأله در حالت دو ماشینه را با هدف کمینه کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار و با فرض زمانهای آماده‌سازی ماشین بدون حضور کار مورد بررسی قرار می‌دهند. آنها یک الگوریتم ابتکاری برای حل مسأله مورد نظر ارائه میدهند. برتولیسی [41] الگوریتم ابتکاری برای حل مسأله به منظور کمینه‌کردن مجموع زمان تکمیل پردازش کارها ارائه میدهد.
الله وردی و آیدوسان [44] مسأله در حالت سه‌ماشینه را با فرض زمانهای آماده سازی مستقل از توالی کارها و با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار میدهند. آنها جواب بهینه را برای حالتهای خاصی مورد بررسی بدست آورده و برای حالت کلی مسأله یک روش ابتکاری ارائه میدهند.
لین و چنگ [28] مسأله را در حالت دو ماشینه با تابع هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار میدهند. آنها فرض زمان خرابی یا تعمیر ماشینها را در مسأله مورد بررسی در نظر گرفته، پیچیدگی را بررسی کرده و روشهای ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند. الله وردی و آیدوسان [44] مسأله در حالت دو ماشینه را با فرض زمانهای آمادهسازی وابسته به توالی ماشینها و با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش کار مورد بررسی قرار میدهند.
چنگ و لیو [45] مسأله در حالت دو ماشینه را با محدودیت زمان خرابی یا تعمیر ماشین‌ها و با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و یک الگوریتم ابتکاری برای حل تقریبی آن ارائه میدهند.
آیدوسان و الله وردی [46] روش ابتکاری برای حل مسأله تابع هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار ارائه میدهند. کوبزین و استراسویچ [47] مسأله در حالت دو ماشینه را با فرض خرابی ماشینها و با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار در نظر میگیرند و یک روش ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند. وانگ و همکاران [48] مسأله انعطاف‌پذیر دو مرحله ای را مورد برررسی قرار میدهند. آنها پیچیدگی مسأله را مورد بحث قرار داده و الگوریتم ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند. بوقارد و همکاران [49] مسأله را با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرارداده و روشی تقریبی برای حل آن ارائه میدهند.
لی و همکاران [50] مسأله را با تابع هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده و یک الگوریتم ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند.
کالشینسکی و کامبوروسکی [51] مسأله را با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار را مورد بررسی قرار میدهند و یک الگوریتم ابتکاری برای حل آن ارائه میدهند و نشان می‌دهند این الگوریتم قابل استفاده برای مسأله جریان‌کارگاهی انعطافپذیر نیز میباشد و یک حد پایینی برای آن تعیین میکنند.
رویز و الله وردی [52] یک الگوریتم ابتکاری برای مسأله با تابع‌های کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار و کمینه‌کردن حداکثر دیرکرد ارائه کرده و نشان دادند این الگوریتم الهام گرفته از الگوریتم ژنتیک است که جواب‌های با کیفیتی را بدست میدهد.
فرامین و همکاران [53] مسأله را با هدف کمینه‌کردن زمان تکمیل پردازش آخرین کار مورد بررسی قرار داده، یک الگوریتم ابتکاری برای حل آن ارائه داده و نشان دادند که این الگوریتم قابلیت اجرا به عنوان یک جستجوی محلی را دارا می باشد.
مروری بر الگوریتم‌های فراابتکاری مسئله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف
الگوریتم‌های فراابتکاری دارای چارچوبی از پیش تعیین شده هستند که برای حل هر مسأله بهینه‌سازی کافی است که آن مسأله را در قالب چارچوب الگوریتم فراابتکاری درآورد. در اغلب مقاله‌های که الگوریتم‌هایی برای حل مسائل بهینه‌سازی پیچیده با استفاده از الگوریتم‌های فراابتکاری ارائه شده، جواب‌هایی با کیفیت بالا در زمان کوتاهی بدست آمده است. در صورتی که جواب‌های ابتکاری همواره به یک جواب مشخص می‌رسند، الگوریتم های فراابتکاری بدلیل ماهیت تصادفی خود، قابلیت ایجاد جواب‌های متنوع را خواهند داشت. به همین دلیل شانس بیشتری در دستیابی به جواب‌هایی با کیفیت در مقایسه با الگوریتم‌های ابتکاری را دارند. برای حل مسأله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف نیز الگوریتم‌های فراابتکاری متعددی از جمله الگوریتم جستجوی پراکنده، الگوریتم ژنتیک[35]، الگوریتم جست وجوی ممنوع[36] و الگوریتم مورچگان ارائه شده است.

در این روابط، ضریب اینرسی، و اعدادی تصادفی در بازه [0,1] با توزیع یکنواخت و همچنین، و ضرایب یادگیری هستند. و باعث می‌شوند که نوعی گوناگونی در جواب‌ها به‌وجود بیاید و به این نحو جستجوی کاملی روی فضا انجام پذیرد. ، ضریب یادگیری مربوط به تجارب شخصی هر ذره و ضریب یادگیری مربوط به تجارب کل جمع می‌باشد. از معادله بالا می‌توان به این نتیجه رسید که، هر ذره به هنگام حرکت، (الف) جهت حرکت قبلی خود، (ب) بهترین موقعیتی که در آن قرار داشته است و (پ) بهترین موقعیتی را که به وسیله کل جمع تجربه شده است، در نظر می‌گیرد.
بعد از انجام حرکت در فضای جستجو توسط تمامی ذرات یک مرجله از الگوریم به پایان می‌رسد.
جمع‌بندی
مسئله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف کاربرد بسیار زیادی در سیستم‌های تولیدی و خدماتی دارد. با توجه به اهمیت این مسئله در دنیای واقعی ارائه الگوریتم کارا برای حل مسئله بسیار مهم می باشد.
تاکنون برای حل مسئله مورد بررسی الگوریتم‌های ابتکاری متعددی ارائه شده است که تمامی آنها قابلیت بدست آوردن جوابی خوب در کمترین زمان را دارا می‌باشند. در سال‌های اخیر استفاده از روش‌های فراابتکاری برای حل مسئله با توجه به قابلیت‌های این الگوریتم‌ها رو به رشد می‌باشد. در این فصل مروری کامل بر روش ‌های‌ابتکاری و فراابتکاری ارائه شده برای حل مسئله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف پرداختیم و همچنین بهترین الگوریتم ارائه شده برای حل مسئله در ادبیات را مورد بررسی قرار دادیم.

الگوریتم و روش حل پیشنهادی
در این فصل، سه الگوریتمی فراابتکاری بر پایه الگوریتم مورچگان برای حل مسئله جریان‌کارگاهی با محدودیت عدم‌توقف ارائه می‌شود. تفاوت این الگوریتم ها در نحوه استفاده از الگوریتم جست‌وجوی محلی است. در پایان نتایج بدست آمده گزارش شده است.
الگوریتم فراابتکاری مورچگان
الگوریتم پیشنهادی که در این پایان‌نامه ارائه شده است، بر پایه الگوریتم بهینه‌سازی مورچگان است. این الگوريتم از رفتار مورچه‌ها در طبيعت الهام گرفته شده است. كاربرد اين الگوريتم در حل مسائل بهينه‌سازي تركيبي و مقايسة نتايج حاصل از آن با ديگر الگوريتم‌ها نشان دهندة كارايي بالاي اين الگوريتم مي‌باشد. مطرح کننده این الگوریتم مارکو دوریگو [70] است که در سال 1992 در قالب رساله دکتری آن را برای حل مسأله فروشنده دوره‌گرد[44] در 75 شهر، با نام سیستم مورچگان[45] () به عنوان مدل اولیه الگوریتم عرضه کرد. دوریگو وهمکاران در سال 1997 [71] در مقاله خود به معرفی الگوریتم سیستم کلونی مورچگان[46] () پرداختند. در الگوريتم ‌از تعدادي مورچة مصنوعي استفاده ميشود كه اين مورچه‌ها از طريق مبادلة‌ اطلاعات با يكديگر، در ساختن جواب همكاري مي‌كنند. اين الگوريتم علي‌رغم آنكه در حل مسائل فروشنده دوره‌گرد با نمونه‌هاي كوچك (كمتر از 30 شهر) دارای کیفیت جواب خوبی بود، اما استفاده از اين روش به دليل نیاز به زمان زياد در حل مسائل بزرگ، كاربرد آنرا محدود مي‌ساخت. به همين دليل تغييراتي بر روي اين الگوريتم به منظور افزايش كارايي آن انجام گرفت كه مي توان از الگوريتم‌هاي [72] و [71] نام برد.
بکارگیری الگوریتم مورچگان در حل مسائل جریان‌کارگاهی
استالتز در سال 1998 [73] اولین الگوریتم برای حل مسائل جریان‌کارگاهی جایگشتی[47] با تابع هدف کمینه‌سازی زمان تکمیل آخرین کار، به نام را ارائه کرد. این الگوریتم در واقع کاربرد روش بود که استالتز و هوس [74] در سال 1997 ارائه کردند. راجندران و زیگلر [75] در سال 2004 دو الگوریتم برای مسائل جریان‌کارگاهی جایگشتی با تابع هدفهای زمان تکمیل آخرین کار و زمان در جریان کلی[48] ارائه کردند. الگوریتم اول در واقع ترکیبی از الگوریتم وSummation Rule (ارائه شده توسط مرکل و میدن‌دور [76] ) بود. همچنین آنها یک روش جست‌وجوی محلی جدید به نام را نیز با این الگوریتم ترکیب کردند. ینگ و لیاو [77] در سال 2004 برای مسائل جریان‌کارگاهی، الگوریتم دیگری که کاربردی از بود را ارائه نمودند. الگوریتم دیگری توسط رانجندران و زیگلر [78] در سال 2006 برای مسائل جریان‌کارگاهی با تابع هدف کمینه سازی زمان تکمیل همه کارهای مختلف ارائه کردند. تعداد دیگری از محققان الگوریتم‌های مشابهی با تابع هدف‌های چندگانه نیز ارائه کرده‌اند[79] .
در سال 2012 احمدی‌زار [80] الگوریتم جدیدی به نام برای مسائل جریان‌کارگاهی با تابع هدف زمان تکمیل آخرین کار ارائه کرد. در این الگوریتم بر خلاف اکثر روش‌ها که یک عدد ثابت اولیه را به همه فرومون‌های اولیه اختصاص می‌دهند، از یک ترتیب اولیه برای مقداردهی اولیه به فرومون‌ها استفاده شده است.
الگوریتم پیشنهادی مورچگان
در الگوریتم مورچگان پیشنهادی، ایده تغییر فرومون برپایه روش است. در این روش مقدار فرومون‌ها بین دو مقدار کمینه و بیشینه تغییر می‌کنند. الگوریتم مورچگان شامل گام‌های مقداردهی اولیه فرومون‌ها، قاعده تغییر حالت، قاعده به‌هنگام کردن محلی، قاعده به‌هنگام کردن نهایی و جست‌وجوی محلی است. این گام‌ها در ادامه توضیح داده می‌شود.
مقداردهی اولیه فرومون
در الگوریتم پیشنهادی، تابع فرمون نشان دهنده اهمیت قرار گیری کار ام در مکان ام تعریف شده است. مقدار فرومون نشان‌گر درجه تمایل انجام فرایند کار ام در مکان ام است. برخلاف روشی که عموما برای مقدار دهی اولیه فرومون ارائه می‌شود، در اینجا از یک ترتیب اولیه استفاده می‌شود. ترتیب اولیه با استفاده از الگوریتم راجندران [40]، که در بخش 3-4 توضیح داده شده است، ایجاد می‌شود. با ایجاد ترتیب اولیه، مقدار فرمون اولیه ها از رابطه 4-1 بدست می‌آید: