M تعداد تغییر در جایگشت بازیکنان و Ki مجموعه بازیکنان قرار گرفته قبل از i در جایگشت M میباشد.
یک قضیه اثبات شده برای محاسبه ارزش شیپلی وقتی تعداد اعضای ائتلاف K با نشان داده میشود، به صورت زیر میباشد:

2-6-2- کاربرد ارزش شیپلی در ارزیابی عملکرد
آقای جعفری و همکارانش در سال 2013 برای اولین بار با تلفیق کارت امتیازی متوازن، تحلیل مسیر و ارزش شیپلی به تعیین روابط علیتی شاخصهای توسعهای علم و فناوری در بخش خصوصی صنعتی پرداختند. ایشان در این مقاله پس از تعیین شاخصهای اندازه گیری در قالب 4 معیار کارت امتیازی متوازن و تعیین چند فرضیه در ارتباط با نوع همبستگی این شاخصها نسبت به هم و آزمون این فرضیهها، مسیرهای مجزایی از این شاخصها تعیین نمود. سپس هر یک از معیارهای کارت امتیازدهی را یک بازیکن در نظر گرفت که در هر مسیر این بازیکنان با یکی از استراتژیهای خود با دیگر بازیکنان تشکیل ائتلاف میدهند. سپس مقادیر شیپلی مربوط به هر یک از بازیکنان در هر مسیر را محاسبه نمود. از این طریق توانست به طبقهبندی ای در شاخصها دست یابد.
این رویکرد در این مطالعه نیز مورد استفاده قرار گرفتهاست که به طور کامل در فصل سوم به آن پرداخته میشود.
2-7- تئوری بازیهای تکاملی
تئوری بازی های تکاملی به عنوان نتیجه ای از تئوری بازی و جنبه های تکاملی بیولوژیکی ایجاد شده است. اگرچه تئوری بازی های تکاملی به طور گسترده در اقتصاد بکار برده شده است، اما در زمینه های مدیریتی این مسئله زیاد مورد توجه قرار نگرفته است که دلایل آن را نایینی و همکارانش به 3 مورد زیر که از محدودیت های تئوری بازی می باشند، خلاصه مینمایند:

1. مشکل انتخاب حالت تعادلی: تمام بازی ها را نمی توان در حالت تعادلی نش[153]دید که موجب مشکل شدن حل مسائل بازی می شود.

1. مشکل عوامل بیش از حد عقلانی: تئوری بازی سنتی نیازمندی به عقلانیت زیادی را برای هر عامل مد نظر قرار می دهد. این محدودیت برای تمام بازی ها اهمیت ندارد.

1. کمبود یک تئوری پویا در تئوری سنتی بازی ها:تئوری بازی پویا نمی باشد که این امر در سازمان های نوین امری مهم و حیاتی است. بنابراین می توان از تئوری بازی های تکاملی برای برطرف نمودن این شکاف در تئوری بازی سنتی بهره گرفت.

دو رویکرد برای تئوری بازی های تکاملی وجود دارد. اولین رویکرد توسط مینارد امیت و پرایس در سال [154]1973 معرفی شد، مفهومی از یک استراتژی تکاملی پایدار را به عنوان ابزار اصلی در تجزیه و تحلیل، بکار می گیرد. روش دوم یک مدل صریح و واضح را از فرآیند ایجاد می کند که در آن فرکانس استراتژی ها با جمعیت و مطالعات خاص مربوط به پویایی تکامل تغییر می یابد (آداچی و همکاران،1991[155]؛ الکساندر و مکنزی، 2000[156]). در این مطالعه نیز از رویکرد دوم استفاده شده است.
در این مطالعه ما از یک بازی 4 نفره بهره بردهایم که هر بازیکن دارای 3 استراتژی می باشد. برای دست یافتن به معادلات تعادلی ابتدا میبایست طرح مربع لاتین به صورت زیر تشکیل شود:
جدول 2-5- طرح مربع لاتین برای یک بازی چهر نفره تکاملی

(3-4)

در این صورت، اگر درست باشد، داراری توزیع t با n-2 درجه آزادی است. بنابراین بایستی فرضیه صفر را رد کنیم اگر که α نشناگر سطح اطمینان می باشد. در این پژوهش این آزمونها در سه سطح اطمینان 1/0، 05/0 و 01/0 مورد بررسی قرار میگیرند. با توجه به مدل 27 بار این آزمون بین متغیرها انجام میگیرد و نتایج اعلام خواهد شد.
در این مرحله تنها کافیست که روابط میان متغیرها تعیین گردد و نیازی به تحلیل رگرسیونی نمیباشد. در صورتیکه فرض صفر در آزمون بین دو متغیر را نتوان رد نمود آن رابطه از مدل حذف میگردد.
همانطور که در شکل 3-2 مشاهده میشود اگر این مرحله انجام نشود تعداد 81 مسیر کلی (3×3×3×3 حالت کلی) میتوان بین متغیرها مدنظر قرار داد. که تعداد بسیاری از این مسیرها هیچ کمکی در بهبود یکدیگر ندارند و نمیتوان آنها را بکار برد. با درنظر گرفتن این مرحله و حذف روابط بیمعنا تعداد مسیرهای مورد بررسی کاهش خواهد یافت.
3-2-3- گام سوم: تعیین اوزان مسیرهای استراتژیک با استفاده از ارزش شیپلی
این مرحله جهت تعیین اوزان مسیرهای مختلف و مقادیر در تئوری بازیهای تکاملی به کار برده میشود. همانطور که در فصل دوم گفته شد برای این منظور از ارزش شیپلی که یکی از راه حلهای تئوری بازیهای مشارکتی میباشد، استفاده میشود.
همانطور که در فصل پیش گفته شد، تعداد محدودی از بازیکنان (n) که با مجموعه نشان داده میشوند، را در نظر بگیرید. هر زیر مجموعه را یک ائتلاف مینامند. نشان دهنده مجموعه مکمل در مجموعه مینامند، به عبارت دیگر این مجموعه شامل بازیکنانی از مجموعه میباشند که در ائتلاف وجود ندارند. فرض کنید ائتلافی با بازیکن می تواند ماکزیمم امتیازی تضمین شده به مقدار را بدست آورد. را یک تابع ویژگی، که تحت شرایط مشخص شده است، مینامیم. این تابع خصوصیات زیر را برآورده میسازد:
1-
2- برای هر که ، داریم
خاصیت اول بیان میکند که ارزش یک ائتلاف خالی صفر است. مورد دوم را خاصیت افزایشی بیان میکنند که ارزش یک ائتلاف متشکل از دو جز حداقل برابر است با مجموع ارزش هر یک از اجزا.
برای این منظور ابتدا میبایست مقادیر V(si) که مربوط به هر یک از استراتژیهای تعریف شده میباشد و نشان دهنده تابع ویژگی آن است، را تعیین نماییم. V(si) نشان دهنده همان ارزش استراتژی si برای سازمان میباشد. این مقادیر برای 12 استراتژی انتخابی با استفاده از AHP فازی بدست میآیند. این فرآیند با استفاده از خبرگان سازمان انجام میگیرد.
سپس میبایست مقادیر V(k) که در آن k ائتلافی از بازیکنان با استراتژی خاص خود میباشند، را محاسبه نمود. در دست یابی به این مقادیر باید خاصیت دوم که در بالا ذکر شده است رعایت گردد. برای مثال اگر داشته باشیم V(L1)= 0.035 و V(I1)= 0.047 آنگاه:
این مقادیر با نظرسنجی از خبرگان زنجیره تامین مورد مطالعه بدست خواهند آمد.
در نهایت پس از بدست آمدن تمام مقادیر V ائتلاف های 2 و 3 نفری و V هر یک از استراتژیها میتوان مقادیر شیپلی هر یک از اعضای مسیرهای مختلف را از طریق رابطه زیر که در فصل قبل هم به آن اشاره شد بدست آورد:

در نظر داشته باشید که مقادیر V ائتلافهای 4 تایی در این پژوهش برابر 1 درنظر گرفته شده است. این امر نشان میدهد که ارزش همه مسیرها برای تصمیم گیرنده یکسان بودهاست. همانگونه که گفته شد این مقادیر به عنوان ورودی تئوری بازیهای تکاملی استفاده میشوند.
3-2-4- گام چهارم: تعیین مسیر استراتژیک بهینه
پس از تعیین مسیرهای استراتژیک معنادار و بدست آوردن مقادیر شیپلی مربوط به هر مسیر نوبت به تعیین بهترین مسیر استراتژیک میرسد. آنگونه که در فصل دوم توضیح داده شد برای استفاده از تئوری بازیهای تکاملی از طرح مربع لاتین استفاده میگردد.
برای این منظور جدولی به صورت جدول3-1 تشکیل میشود، که قبلا هم در فصل دوم نشان داده شده است، و خانه های آن با مقادیر شیپلی بدست آمده از مرحله پیشین پر میگردد. هر یک از بسته ها دارای 4 خانه میباشند که مقادیر شیپلی مربوط به هر یک از اجزای مسیر مربوطه در آن قرار میگیرد. این 4 خانه به این ترتیب پر میشوند که در خانه اول از سمت چپ و بالا ارزش شیپلی Li قرار میگیرد، در خانه بالا سمت راست ارزش شیپلی Ii، در خانه پایین سمت چپ ارزش شیپلی Ci و در نهایت در خانه پایین سمت راست ارزش شیپلی Fi قرار خواهد گرفت.
در این پژوهش هر یک از معیارهای کارت امتیازی متوازن به عنوان یک بازیکن در نظر گرفته میشوند و از یک تئوری بازی تکاملی 4 نفره در دستیابی به بهترین مسیر استراتژیک استفاده میگردد. در این حالت هر یک از بازیکنان دارای 3 استراتژی میباشند که از آنها در بازی استفاده میکنند.
جدول 3-1- طرح مربع لاتین برای تئوری بازیها تکاملی با دادههای حاصل از ارزش شیپلی